$\int \frac{dx}{x^2-x+1}=$ কত?

দেওয়া আছে, একটি অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল নির্ণয় করতে হবে:

\(\int \frac{dx}{x^2-x+1}\)

এই ধরণের ইন্টিগ্রাল সমাধানের জন্য, প্রথমে হরের দ্বিঘাত রাশিটিকে \((x \pm a)^2 \pm b^2\) আকারে প্রকাশ করতে হবে। এক্ষেত্রে, আমরা হরের দ্বিঘাত রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করব।

হর = \(x^2 - x + 1\)

পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশের জন্য, আমরা \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) সূত্রটি ব্যবহার করব। এখানে \(a=x\) এবং \(2ab = x\), সুতরাং \(2xb = x \implies b = \frac{1}{2}\)।

\(x^2 - x + 1 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1\)

\(= \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 1\)

\(= \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\)

এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int \frac{dx}{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}\)

আমরা জানি, \(\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C\)

এখানে, \(u = x - \frac{1}{2}\) এবং \(a^2 = \frac{3}{4} \implies a = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)।

এছাড়া, যদি \(u = x - \frac{1}{2}\) হয়, তাহলে \(du = d\left(x - \frac{1}{2}\right) = dx\)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটির সমাধান হবে:

\(= \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + C\)

\(= \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{\frac{2x - 1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + C\)

\(= \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C\)

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, অপশন 4 হলো \(\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{3}}\right)\)। আমাদের প্রাপ্ত ফলাফল \(\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right)\) এর সাথে এই অপশনটির (আর্গুমেন্টের লবের ধ্রুবক পদে) অমিল রয়েছে। অতএব, প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।